Entraînement
7 QCM mathématiques ARES corrigés
Travaille d’abord le raisonnement, puis seulement la vitesse. En mathématiques ARES, un changement de variable, une identité remarquable ou un signe de dérivée suffit souvent à éliminer trois options.
Dans un lac, le nombre de truites N(t) vérifie N′(t) = 0,3N(t) − 0,06tN(t), avec N(t) > 0. Pendant combien d’années le nombre de truites augmentera-t-il?
- A. 5
- B. 16,67
- C. 33,33
- D. Le nombre de truites augmentera toujours
Réponse A — Comme N(t) est positif, le signe de N′(t) dépend de 0,3 − 0,06t. La population augmente si 0,3 − 0,06t > 0, donc t < 5. Elle augmente pendant les 5 premières années.
Dans le plan euclidien, quatre points P, Q, R, S forment un carré PQRS de côté 2. Que vaut le produit scalaire du vecteur PQ par le vecteur RP?
- A. −4
- B. −2
- C. 2
- D. 4
Réponse A — Plaçons P(0,0), Q(2,0), R(2,2). Alors le vecteur PQ = (2,0) et le vecteur RP = P − R = (−2,−2). Le produit scalaire vaut 2 × (−2) + 0 × (−2) = −4.
Un enfant calcule successivement 1 + 1, puis 2 + 2, puis 4 + 4, et ainsi de suite. Si n désigne le nombre d’étapes, quel résultat obtient-il après n étapes?
- A. 2n
- B. n²
- C. 2ⁿ
- D. 2²ⁿ
Réponse C — Chaque étape double le résultat précédent : 2, 4, 8, 16... Après n étapes, on obtient donc la puissance de 2 correspondante, c’est-à-dire 2ⁿ.
Le prix d’une pièce de théâtre est 10 € pour les étudiants, 15 € pour les seniors et 20 € pour les autres. 500 billets rapportent 6 500 €, avec trois fois plus de billets étudiants que seniors. Quel montant provient des billets étudiants?
- A. 2 100
- B. 3 300
- C. 3 000
- D. 1 800
Réponse C — Si s est le nombre de billets seniors, les étudiants sont 3s et les autres 500 − 4s. La recette vaut 10×3s + 15s + 20(500 − 4s) = 6500. Donc −35s + 10000 = 6500, s = 100 et les étudiants sont 300. Leur recette vaut 300 × 10 = 3000 €.
Un triangle rectangle a une aire de 200√3 cm² et un de ses angles mesure 30°. Quelle est la longueur de son hypoténuse?
- A. 40
- B. 50
- C. 50√2
- D. 100√3
Réponse A — Dans un triangle 30°-60°-90°, les côtés de l’angle droit valent h/2 et h√3/2 si h est l’hypoténuse. L’aire vaut 1/2 × h/2 × h√3/2 = h²√3/8. Donc h²√3/8 = 200√3, h² = 1600 et h = 40.
Pour f(x) = ln(x² + 3), on définit g(x) = f(x − 1). Sur quelle partie de la droite réelle g est-elle strictement décroissante?
- A. ] − ∞, −3 [
- B. ] − ∞, 1 [
- C. ] −3, 1 [
- D. ] 1, +∞ [
Réponse B — g(x) = ln((x − 1)² + 3). Sa dérivée vaut g′(x) = 2(x − 1) / ((x − 1)² + 3). Le dénominateur est toujours positif, donc g′(x) < 0 exactement quand x < 1.
Parmi ces expressions, laquelle est équivalente à cos⁴(x) − sin⁴(x) pour tout réel x?
- A. cos(2x)
- B. cos²(x)
- C. cos²(2x)
- D. 2 cos²(x)
Réponse A — On utilise a² − b² : cos⁴(x) − sin⁴(x) = (cos²x − sin²x)(cos²x + sin²x). Le second facteur vaut 1, donc l’expression vaut cos²x − sin²x = cos(2x).
Révision ciblée
Les pièges fréquents en mathématiques ARES
- Signe de dérivée : isole toujours le facteur qui change de signe; le reste peut souvent être strictement positif.
- Puissances : distingue 2n, n², 2ⁿ et 2²ⁿ; les distracteurs se ressemblent volontairement.
- Géométrie : pose des coordonnées simples pour transformer un dessin en produit scalaire ou équation de droite.
- Identités : cos⁴ − sin⁴ se traite comme une différence de carrés, pas par développement long.
Méthode
Comment progresser vite en QCM mathématiques
Garde une fiche d’automatismes : dérivée de ln(u), v² = norme au carré, formules d’angle double, système à deux inconnues. Ce sont ces réflexes qui font gagner du temps sur les questions faciles.
Après chaque série, refais uniquement les questions où tu as hésité entre deux options. C’est souvent là que se cachent les pertes de points au barème négatif.
QCM mathématiques ARES
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